\documentclass[11pt,a4paper,twocolumn]{article}

% Required packages
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech,shorthands=off]{babel}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[centering,text={186mm,260mm}]{geometry}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amsthm}

% Set up theorem environments
\newtheorem{definition}{Definice}
\newtheorem{theorem}{Věta}

% Hyperref package should be loaded last
\usepackage{hyperref}

% Begin document
\begin{document}

% Title page (one column)
\begin{titlepage}
\begin{center}
{\Huge\textsc{Vysoké učení technické v Brně\\[0.5em]}}
{\huge\textsc{Fakulta informačních technologií}}

\vspace{\stretch{0.382}}

{\huge Typografie a publikování -- 2. projekt\\[0.6em]}
{\huge Sazba dokumentů a matematických výrazů}

\vspace{\stretch{0.618}}
\end{center}

\Large
2025 \hfill Roman Nečas (xnecasr00)
\end{titlepage}

% Main content starts with Úvod
\section*{Úvod}
V této úloze vysázíme titulní stranu a ukázku matema\-tického textu, v~němž se vyskytují například rovnice~\eqref{eq:integ} na straně~\pageref{eq:integ}, Věta~\ref{thm:nonneg} nebo Definice~\ref{def:metric}. Pro vytvoření těchto odkazů používáme kombinace příkazů \verb|\label|, \verb|\ref|, \verb|\eqref| a \verb|\pageref|. Před odkazy patří nezlomi\-telná mezera. Text zvýrazníme pomocí příkazu \verb|\emph|, strojopisné písmo pomocí \verb|\texttt|. Pro \LaTeX{}ové pří\-kazy (s obráceným lomítkem) použijeme \verb|\verb|.

Titulní strana je vysázena prostředím \texttt{titlepage} a~nadpis je v~optickém středu s~využitím \emph {zlatého řezu}, který byl probrán na přednášce. Na titulní straně jsou tři různé velikosti písma a mezi dvojicemi řádků textu je řádkování se zadanou velikostí 0,5\,em a 0,6\,em\footnote{Použijte správnou velikost mezery mezi číslem a jednotkou.}.

\section{Matematický text}
Symboly číselných množin sázíme makrem \verb|\mathbb|, kaligrafická písmena makrem \verb|\mathcal|. Pozor na tvar i~sklon řeckých písmen: srovnejte \verb|\rho| a \verb|\varrho|. Kon\-strukce \verb|${}$| nebo \verb|\mbox{}| zabrání zalomení výrazu.

Pro definice a věty slouží prostředí definovaná pří\-kazem \verb|\newtheorem| z balíku \texttt{amsthm}. Tato prostředí obracejí význam \verb|\emph|: uvnitř textu sázeného kurzí\-vou se zvýrazňuje písmem v základním řezu. Důkazy se někdy ukončují značkou \verb|\qed|.

\subsection{Pseudometrický prostor}
Pro zarovnání rovností a nerovnosti pod sebe použijte vhodné prostředí.

\begin{definition}\label{def:pseudometric}
V \emph{pseudometrickém prostoru} $\mathcal{M} = (M, \varrho)$ značí $M$ množinu bodů, $\varrho : M \times M \to \mathbb{R}$ je zobrazení zvané \emph{pseudometrika}, které pro každé body $x, y, z \in M$ splňuje následující podmínky:
\begin{eqnarray}
\varrho(x, x) & = & 0 \label{eq:refl}\\
\varrho(x, y) & = & \varrho(y, x) \label{eq:symm}\\
\varrho(x, y) + \varrho(y, z) & \geq & \varrho(x, z) \label{eq:triangle}
\end{eqnarray}
\end{definition}

\subsection{Metrika}
Funkční hodnota pseudometriky $\varrho$ se nazývá vzdále\-nost. Vzdálenost každých dvou bodů je nezáporná.

\begin{theorem}\label{thm:nonneg}
Pro každé dva body $x, y \in M$ pseudometric\-kého prostoru $(M, \varrho)$ platí $\varrho(x, y) \geq 0$.
\end{theorem}


Důkaz: Nechť $x, y \in M$ a označme $d = \varrho(x, y)$. Využitím \eqref{eq:symm} máme $2d = \varrho(x, y) + \varrho(y, x)$, z nerov\-nosti~\eqref{eq:triangle} vyplývá $2d \geq \varrho(x, x)$ a z rovnosti~\eqref{eq:refl} dosta\-neme $2d \geq \varrho(x, x) = 0$. Odtud plyne $d \geq 0$. \qed


Speciálním případem pseudometrických pro\-storů jsou prostory metrické, v nichž dva různé body mají vždy kladnou vzdálenost.

\begin{definition}\label{def:metric}
Nechť $\mathcal{M} = (M, \varrho)$ je pseudometrický pro\-stor, v němž platí $\varrho(x, y) > 0$, kdykoliv $x \neq y$. Potom $\mathcal{M}$ se nazývá \emph{metrický prostor} a $\varrho$ je jeho \emph{metrika}.
\end{definition}

\section{Rovnice}
Velikost závorek a svislých čar je potřeba přizpůsobit jejich obsahu. K tomu jsou určeny modifikátory \verb|\left| a \verb|\right|.
\begin{equation}\label{eq:holder}
\lim_{p\to 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}} = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}
\end{equation}

Zde vidíme, jak se vysází proměnná určující \mbox{limitu} v běžném textu: $\lim_{m\to\infty} f(m)$. Podobně je to i s dal\-šími symboly jako $\bigcup_{N \in \mathcal{M}} N$ či $\sum_{i=1}^m x_i^2$. S vynucením méně úsporné sazby příkazem \verb|\limits| budou vzorce vysázeny v podobě $\lim\limits_{m\to\infty} f(m)$ a $\sum\limits_{i=1}^m x_i^2$. Složitější ma\-tematické formule sázíme mimo plynulý text pomocí prostředí \texttt{displaymath}.
\begin{eqnarray}
\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n & = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \label{eq:exp} \\
\sum_{\emptyset\neq X\subseteq P}(-1)^{|X|-1}\left|\bigcap X\right| &=& \left|\bigcup P\right| \label{eq:incexc} \\
-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &=& \int_b^a f(y)\,\mathrm{d}y \label{eq:integ}
\end{eqnarray}
Nezapomeňte rovnice, na které se odkazujete, označit vhodným jménem pomocí \verb|\label|.

\section{Matice}
Pro sázení matic se používá prostředí \texttt{array} a závorky s výškou nastavenou pomocí \verb|\left|, \verb|\right|.
\begin{displaymath}
D = \left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}
x & y \\
t & w
\end{array}\right| = xw - yt
\end{displaymath}

Prostředí \verb|array| lze úspěšně využít i jinde, například na pravé straně následující definiční rovnosti.
\begin{displaymath}
B_n = \left\{\begin{array}{ll}
1 & \text{pro } n = 0 \\
\textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}B_k & \text{pro } n \geq 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Jestliže sázíme jen levou složenou závorku, pak za pá\-rovým \verb|\right| místo závorky píšeme tečku.

\end{document}